Expression du terme général d'une suite arithmétique

Propriété

Soit  `u_0`  et  `r`  deux réels.
La suite  `(u_n)_(n\in\mathbb(N))`  est une suite arithmétique de premier terme  `u_0`  et de raison  `r`  si et seulement si, pour tout entier naturel  `n` ,    \(\boxed{u_n=u_0+nr}\) . 

Remarque

Cette propriété permet également de calculer le terme de rang  `n`  d'une suite arithmétique à partir d'un terme autre que  `u_0` .
En effet, si  `(u_n)_(n\in\mathbb{N})`   est une suite arithmétique de premier terme  `u_0`  et de raison  `r` , alors, pour tout entier naturel  `p<=n`  : 
`u_n=u_0+nr=u_1+(n-1)r=u_2+(n-2)r=...=u_p+(n-p)r` .

Démonstration

Sens direct
On suppose que  `(u_n)_(n\in\mathbb(N))`  est une suite arithmétique de premier terme  `u_0`  et de raison  `r` . Observons d'abord que, étant donné  `n` naturel supérieur ou égal à 2,
`u_n=\color{red}{u_(n-1)}+r \ \text{mais} \ \color{red}{u_(n-1)=u_(n-2)+r} \ \text{donc} \ u_n=\color{red}{(u_(n-2)+r)}+r=u_(n-2)+r+r`
de même, si  \(n\) est supérieur ou égal à 3,  `\color{green}{u_(n-2)=u_(n-3)+r`  donc  `u_n=\color{green}{u_(n-2)}+2r=\color{green}{u_(n-3)+r}+r+r=u_(n-3)+r+r+r=u_(n-3)+3r`
et, en poursuivant ce raisonnement jusqu'à attendre le terme  `u_0` dans le membre de droite de l'égalité, on arrive à :  `u_n=u_1+(n-1)r=u_0+r+(n-1)r=u_0+nr` . 

Sens réciproque
Réciproquement, si  `(u_n)_(n\in\mathbb(N))`  est une suite telle que, pour tout  `n`  entier naturel,  `u_n=u_0+nr`  alors :  \(u_{\color{red}{n+1}}=u_0+(\color{red}{n+1})r=\underbrace{u_0+nr}_{u_n}+r=u_n+r\) .
La suite   `(u_n)_(n\in\mathbb(N))`  est bien une suite arithmétique de premier terme  `u_0`  et de raison  `r` .